Ali sta P in NP dejansko enaka zahtevnostna razreda?
Vprašanje, ali je P enako NP, je eden najglobljih in nerešenih problemov v računalništvu in matematiki. Ta problem je v središču teorije računalniške kompleksnosti, področja, ki proučuje inherentno težavnost računalniških problemov in jih razvršča glede na vire, potrebne za njihovo rešitev.
Da bi razumeli vprašanje, je bistveno razumeti definicije razredov P in NP. Razred P sestavljajo odločitveni problemi (problemi z odgovorom da/ne), ki jih je mogoče rešiti z determinističnim Turingovim strojem v polinomskem času. Polinomski čas implicira, da je čas, potreben za rešitev problema, mogoče izraziti kot polinomsko funkcijo velikosti vhoda. Primeri težav v P vključujejo razvrščanje seznama števil (kar je mogoče narediti v času O(n log n) z uporabo učinkovitih algoritmov, kot je mergesort) in iskanje največjega skupnega delitelja dveh celih števil z uporabo evklidskega algoritma (ki teče v O(log (min(a, b))) čas).
Po drugi strani pa razred NP sestavljajo odločitveni problemi, za katere je dano rešitev mogoče preveriti v polinomskem času z determinističnim Turingovim strojem. To pomeni, da če nekdo ponudi možno rešitev problema, lahko učinkovito preveri njeno pravilnost. Pomembno je, da NP ne pomeni nujno, da je sam problem mogoče rešiti v polinomskem času, le da je predlagano rešitev mogoče hitro preveriti. Primeri problemov v NP vključujejo problem Boolean satisfiability problem (SAT), kjer poskušamo ugotoviti, ali obstaja dodelitev vrednosti resnice spremenljivkam, zaradi česar je dana Boolean formula resnična, in problem Hamiltonovega cikla, ki sprašuje, ali obstaja cikel ki obišče vsako vozlišče grafa natanko enkrat.
Vprašanje P proti NP sprašuje, ali je vsak problem, katerega rešitev je mogoče preveriti v polinomskem času (tj. vsak problem v NP), mogoče rešiti tudi v polinomskem času (tj. je v P). Formalno je vprašanje, ali je P = NP. Če bi bil P enak NP, bi to pomenilo, da je vsak problem, za katerega je mogoče hitro preveriti rešitev, lahko tudi hitro rešen. To bi imelo globoke posledice za področja, kot so kriptografija, optimizacija in umetna inteligenca, saj bi lahko številni trenutno nerešljivi problemi potencialno postali učinkovito rešljivi.
Kljub desetletjem raziskav ostaja vprašanje P proti NP odprto. Nihče še ni uspel dokazati P = NP ali P ≠ NP. Težavnost tega problema je poudarjena s tem, da ga je Inštitut Clay Mathematics Institute uvrstil med sedem "problemov z nagrado tisočletja", z nagrado 1 milijon dolarjev za pravilno rešitev. Pomanjkanje ločljivosti je pripeljalo do pomembnega razvoja tako v teoretični kot uporabni računalniški znanosti.
Eden od ključnih konceptov, povezanih z vprašanjem P proti NP, je popolnost NP. Težava je NP-popolna, če je v NP, in tako težka kot katera koli težava v NP, v smislu, da se vsaka težava NP lahko reducira nanjo z uporabo redukcije polinomskega časa. Koncept NP-popolnosti je uvedel Stephen Cook v svojem temeljnem dokumentu iz leta 1971, kjer je dokazal, da je problem SAT NP-popoln. Ta rezultat, znan kot Cookov izrek, je bil prelomen, ker je zagotovil konkreten primer NP-popolnega problema in postavil okvir za prepoznavanje drugih NP-popolnih problemov.
Od takrat se je izkazalo, da so številni drugi problemi NP-popolni, na primer problem trgovskega potnika, problem klike in problem nahrbtnika. Pomen NP-popolnosti je v tem, da če je kateri koli NP-popoln problem mogoče rešiti v polinomskem času, potem je vsak problem v NP mogoče rešiti v polinomskem času, kar implicira P = NP. Nasprotno, če katerega koli NP-popolnega problema ni mogoče rešiti v polinomskem času, potem je P ≠ NP.
Za ponazoritev koncepta NP-popolnosti razmislite o problemu trgovskega potnika (TSP). V tem problemu mora prodajalec obiskati niz mest, vsako natanko enkrat, in se vrniti v začetno mesto, s ciljem zmanjšanja skupne razdalje potovanja. Odločitvena različica TSP sprašuje, ali obstaja ogled mest s skupno razdaljo, manjšo ali enako dani vrednosti. Ta problem je v NP, ker je glede na predlagano potovanje mogoče enostavno v polinomskem času preveriti, ali potovanje izpolnjuje omejitev razdalje. Poleg tega je TSP NP-popoln, ker se vsak problem v NP lahko pretvori v primerek TSP v polinomskem času.
Drug primer je problem klike, ki sprašuje, ali dani graf vsebuje celoten podgraf (kliko) določene velikosti. Ta problem je v NP, ker je glede na kandidatno kliko mogoče v polinomskem času preveriti, ali je res klika zahtevane velikosti. Problem klike je prav tako NP-popoln, kar pomeni, da bi njegovo učinkovito reševanje pomenilo, da je mogoče učinkovito rešiti vse probleme NP.
Študija P proti NP in NP-popolnosti je privedla do razvoja različnih tehnik in orodij v teoretičnem računalništvu. Ena takšnih tehnik je koncept polinomskega zmanjšanja časa, ki se uporablja za prikaz, da je en problem vsaj tako težak kot drugi. Redukcija polinomskega časa s problema A na problem B je transformacija, ki pretvori primerke A v primerke B v polinomskem času, tako da se rešitev transformiranega primerka B lahko uporabi za rešitev prvotnega primerka A. Če je problem A je mogoče reducirati na problem B v polinomskem času, B pa je mogoče rešiti v polinomskem času, potem je mogoče tudi A rešiti v polinomskem času.
Drug pomemben koncept je pojem aproksimacijskih algoritmov, ki zagotavljajo skoraj optimalne rešitve NP-težkih problemov (problemov, ki so vsaj tako težki kot NP-popolni problemi) v polinomskem času. Čeprav ni nujno, da ti algoritmi najdejo točno optimalno rešitev, ponujajo praktičen pristop k reševanju nerešljivih problemov z zagotavljanjem rešitev, ki so blizu najboljšim možnim. Na primer, problem trgovskega potnika ima dobro znan aproksimacijski algoritem, ki zagotavlja potovanje znotraj faktorja 1.5 optimalnega potovanja za metrični TSP (kjer razdalje izpolnjujejo neenakost trikotnika).
Posledice reševanja vprašanja P proti NP presegajo teoretično računalništvo. V kriptografiji se številne šifrirne sheme opirajo na trdoto določenih problemov, kot so faktorizacija celih števil in diskretni logaritmi, za katere se domneva, da so v NP, ne pa v P. Če bi bil P enak NP, bi te težave potencialno lahko učinkovito rešili, kar bi ogrozilo varnost kriptografskih sistemov. Nasprotno pa bi dokazovanje P ≠ NP zagotovilo močnejšo osnovo za varnost takih sistemov.
Pri optimizaciji so številni problemi v resničnem svetu, kot so razporejanje, usmerjanje in dodeljevanje virov, modelirani kot problemi, trdi NP. Če bi bil P enak NP, bi to pomenilo, da bi bilo mogoče razviti učinkovite algoritme za optimalno reševanje teh problemov, kar bi vodilo do pomembnega napredka v različnih panogah. Vendar pa je trenutna predpostavka, da je P ≠ NP, pripeljala do razvoja hevrističnih in aproksimacijskih algoritmov, ki zagotavljajo praktične rešitve teh problemov.
Vprašanje P proti NP ima tudi filozofske posledice, saj se dotika narave matematične resnice in meja človeškega znanja. Če bi bil P enak NP, bi to pomenilo, da bi lahko vsako matematično trditev s kratkim dokazom učinkovito odkrili, kar bi lahko revolucioniralo proces matematičnega odkrivanja. Po drugi strani pa, če je P ≠ NP, bi to pomenilo, da obstajajo inherentne omejitve glede tega, kaj je mogoče učinkovito izračunati in preveriti, kar poudarja kompleksnost in bogastvo matematičnih struktur.
Kljub pomanjkanju dokončnega odgovora na vprašanje P vs. NP so raziskave v zvezi z njim vodile do globljega razumevanja računalniške kompleksnosti in razvoja številnih tehnik in orodij, ki so močno vplivala na računalništvo. Prizadevanje za rešitev tega vprašanja še naprej navdihuje in izziva raziskovalce, spodbuja napredek na tem področju in širi naše razumevanje temeljnih omejitev računanja.
Druga nedavna vprašanja in odgovori v zvezi kompleksnost:
- Ali razred PSPACE ni enak razredu EXPSPACE?
- Ali je razred kompleksnosti P podmnožica razreda PSPACE?
- Ali lahko dokažemo, da sta razreda Np in P enaka, tako da najdemo učinkovito polinomsko rešitev za kateri koli popolni problem NP na determinističnem TM?
- Ali je lahko razred NP enak razredu EXPTIME?
- Ali obstajajo težave v PSPACE, za katere ni znanega algoritma NP?
- Ali je lahko problem SAT popoln problem NP?
- Ali je lahko problem v kompleksnem razredu NP, če obstaja nedeterministični turingov stroj, ki ga bo rešil v polinomskem času
- NP je razred jezikov, ki imajo polinomske časovne verifikatorje
- Ali je vsak kontekstno prost jezik v kompleksnem razredu P?
- Ali obstaja protislovje med definicijo NP kot razreda odločitvenih problemov s polinomskimi časovnimi preveritelji in dejstvom, da imajo problemi v razredu P tudi polinomske časovne preveritelje?
Oglejte si več vprašanj in odgovorov v Complexity