Ali razred PSPACE ni enak razredu EXPSPACE?
Vprašanje, ali razred PSPACE ni enak razredu EXPSPACE, je temeljni in nerešen problem v teoriji računalniške kompleksnosti. Da bi zagotovili celovito razumevanje, je bistveno upoštevati definicije, lastnosti in posledice teh kompleksnih razredov, kot tudi širši kontekst kompleksnosti prostora.
Definicije in osnovne lastnosti
PSPACE: Razred PSPACE sestavljajo vsi problemi odločanja, ki jih lahko reši Turingov stroj z uporabo polinomske količine prostora. Formalno je jezik L v PSPACE, če obstajata Turingov stroj M in polinomska funkcija p(n), taka da se za vsak vhod x stroj M odloči, ali je x v L, z uporabo največ p(|x|) prostora. PSPACE zajema široko paleto problemov, vključno s tistimi, ki so rešljivi v polinomskem času (P), in tistimi, ki so popolni za PSPACE, kot je problem kvantificirane logične formule (QBF).
EXPSPACE: Razred EXPSPACE vključuje vse odločitvene probleme, ki jih lahko reši Turingov stroj z uporabo eksponentne količine prostora. Natančneje, jezik L je v EXPSPACE, če obstaja Turingov stroj M in eksponentna funkcija f(n), taka da se za vsak vhod x stroj M odloči, ali je x v L, z uporabo največ 2^f(|x|) prostora. EXPSPACE je večji razred kot PSPACE, saj omogoča eksponentno več prostora, kar omogoča reševanje širšega spektra problemov.
Razmerje med PSPACE in EXPSPACE
Da bi razumeli razmerje med PSPACE in EXPSPACE, je pomembno prepoznati hierarhijo prostorskih kompleksnih razredov. Po definiciji je PSPACE vsebovan v EXPSPACE, ker je vsak problem, ki ga je mogoče rešiti s polinomskim prostorom, mogoče rešiti tudi z eksponentnim prostorom. Formalno PSPACE ⊆ EXPSPACE. Vendar obratno ni nujno res; razširjeno je prepričanje, da EXPSPACE vsebuje probleme, ki jih ni mogoče rešiti z uporabo polinomskega prostora, kar pomeni, da je PSPACE ≠ EXPSPACE.
Primeri in posledice
Razmislite o problemu QBF, ki je PSPACE-popoln. Ta problem vključuje določanje resničnosti kvantificirane Boolove formule in ga je mogoče rešiti z uporabo polinomskega prostora. Ker je QBF PSPACE-popoln, lahko vsak problem v PSPACE reduciramo na QBF v polinomskem času. Po drugi strani pa je primer problema v EXPSPACE, vendar ne nujno v PSPACE, problem dosegljivosti za izmenično Turingove stroje z eksponentnimi prostorskimi mejami. Ta problem zahteva sledenje eksponentnemu številu konfiguracij, kar je s polinomskim prostorom neizvedljivo.
Izrek o prostorski hierarhiji
Izrek o prostorski hierarhiji daje formalno osnovo za prepričanje, da je PSPACE strogo vključen v EXPSPACE. Ta izrek navaja, da za vsako prostorsko konstruktivno funkcijo f(n) obstaja jezik, ki ga je mogoče določiti v prostoru f(n), ne pa tudi v prostoru o(f(n)). Z uporabo tega izreka s f(n) = 2^n dobimo, da obstajajo problemi, rešljivi v eksponentnem prostoru, ki jih ni mogoče rešiti v nobenem subeksponentnem prostoru, vključno s polinomskim prostorom. Zato izrek o prostorski hierarhiji implicira, da je PSPACE strogo vsebovan znotraj EXPSPACE, tj. PSPACE ⊂ EXPSPACE.
Nerešena narava PSPACE ≠ EXPSPACE
Kljub trdnim dokazom, ki jih ponuja izrek o prostorski hierarhiji, ostaja vprašanje, ali PSPACE ni enako EXPSPACE, nerešeno. To je zato, ker bi dokazovanje stroge neenakosti PSPACE ≠ EXPSPACE zahtevalo dokazovanje obstoja specifičnega problema v EXPSPACE, ki ga ni mogoče rešiti v PSPACE, kar do danes ni bilo doseženo. Težava je v inherentnih izzivih dokazovanja ločevanja med kompleksnimi razredi, kar je pogosta tema v računalniški teoriji kompleksnosti.
Širši kontekst in s tem povezani razredi kompleksnosti
Razmerje med PSPACE in EXPSPACE je mogoče kontekstualizirati znotraj širše krajine kompleksnih razredov. Na primer, razred P (problemi, rešljivi v polinomskem času) je podmnožica PSPACE in splošno velja, da je P ≠ PSPACE. Podobno je razred NP (nedeterministični polinomski čas) prav tako vključen v PSPACE, slavni problem P proti NP pa je osrednje odprto vprašanje na tem področju. Zadrževalna razmerja med temi razredi so povzeta, kot sledi:
– P ⊆ NP ⊆ PPROSTOR ⊆ EXPSPACE
Poleg teh razredov obstajajo še drugi pomembni razredi kompleksnosti prostora, kot sta L (logaritemski prostor) in NL (nedeterministični logaritemski prostor), ki sta podmnožici PSPACE. Razmerja med temi razredi dodatno ponazarjajo hierarhijo računalniške kompleksnosti, ki temelji na prostorskih zahtevah.
Vprašanje, ali PSPACE ni enako EXPSPACE, je temeljni in nerešen problem v teoriji računalniške kompleksnosti. Medtem ko izrek o prostorski hierarhiji zagotavlja trdne dokaze, da je PSPACE strogo vključen v EXPSPACE, formalni dokaz o strogi neenakosti PSPACE ≠ EXPSPACE ostaja nedosegljiv. Raziskovanje tega vprašanja osvetljuje širšo pokrajino kompleksnih razredov in inherentne izzive dokazovanja ločitev med njimi.
Druga nedavna vprašanja in odgovori v zvezi kompleksnost:
- Ali je razred kompleksnosti P podmnožica razreda PSPACE?
- Ali lahko dokažemo, da sta razreda Np in P enaka, tako da najdemo učinkovito polinomsko rešitev za kateri koli popolni problem NP na determinističnem TM?
- Ali je lahko razred NP enak razredu EXPTIME?
- Ali obstajajo težave v PSPACE, za katere ni znanega algoritma NP?
- Ali je lahko problem SAT popoln problem NP?
- Ali je lahko problem v kompleksnem razredu NP, če obstaja nedeterministični turingov stroj, ki ga bo rešil v polinomskem času
- NP je razred jezikov, ki imajo polinomske časovne verifikatorje
- Ali sta P in NP dejansko enaka zahtevnostna razreda?
- Ali je vsak kontekstno prost jezik v kompleksnem razredu P?
- Ali obstaja protislovje med definicijo NP kot razreda odločitvenih problemov s polinomskimi časovnimi preveritelji in dejstvom, da imajo problemi v razredu P tudi polinomske časovne preveritelje?
Oglejte si več vprašanj in odgovorov v Complexity