Zakaj je jezik U = 0^n1^n (n>=0) nepravilen?

/ / Objavljeno v Cybersecurity, Osnove teorije računske kompleksnosti EITC/IS/CCTF, Potisni avtomati, Dlančniki: Pushdown Automata

Vprašanje, ali jezik U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} redno ali ne, je temeljna tema na področju teorije računalniške kompleksnosti, zlasti pri študiju formalnih jezikov in teorije avtomatov. Razumevanje tega koncepta zahteva dobro razumevanje definicij in lastnosti navadnih jezikov ter računalniških modelov, ki jih prepoznajo.

Običajni jeziki in končni avtomati

Običajni jeziki so razred jezikov, ki jih je mogoče prepoznati s končnimi avtomati, ki so abstraktni stroji s končnim številom stanj. Te jezike je mogoče opisati tudi z uporabo regularnih izrazov in jih je mogoče ustvariti z običajnimi slovnicami. Ključna značilnost običajnih jezikov je, da jih lahko prepoznajo deterministični končni avtomati (DFA) ali nedeterministični končni avtomati (NFA). DFA je sestavljen iz končnega niza stanj, niza vhodnih simbolov, prehodne funkcije, ki preslika pare stanje-simbol v stanja, začetnega stanja in niza sprejemajočih stanj.

Moč končnih avtomatov je omejena z njihovim končnim pomnilnikom. Ne morejo šteti več kot določeno število, kar pomeni, da ne morejo slediti poljubnemu številu pojavitev določenega simbola, razen če število ni omejeno s številom stanj v avtomatu. Ta omejitev je pomembna pri obravnavanju jezikov, kot je U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\}.

Nepravilnost U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\}

Če želite ugotoviti, ali je jezik navaden, lahko uporabite črpalno lemo za običajne jezike. Lema črpanja zagotavlja lastnost, ki jo morajo izpolnjevati vsi običajni jeziki, pogosto pa se uporablja za prikaz, da nekateri jeziki niso pravilni, tako da dokaže, da ne izpolnjujejo te lastnosti.

Lema o črpanju navaja, da za vsak običajni jezik L, obstaja dolžina črpanja p \geq 1 tako, da katerikoli niz s in L z dolžino |s| \geq str lahko razdelimo na tri dele, s = xyz, ki izpolnjuje naslednje pogoje:
1. |xy| \leq str,
2. |y| \geq 1in
3. za vse i \geq 0, niz xy^iz je v L.

Če želite to pokazati s črpalno lemo U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} ni pravilna, predpostavimo zaradi protislovja, da U je redna. Potem obstaja dolžina črpanja p tako, da katerikoli niz s in U z |s| \geq str lahko razdelimo na dele x, y, z ki izpolnjujejo pogoje črpalne leme.

Razmislite o nizu s = 0^p1^p in U. Glede na črpalno lemo, s se lahko razdeli na x, y, z tako, da |xy| \leq str in |y| \geq 1. Od leta |xy| \leq str, podniz y je sestavljen samo iz 0. torej x = 0^a, y = 0^bin z = 0^{pab}1^p Kje 1 \leq b \leq str.

Zdaj pa razmislite o nizu xy^2z = 0^a0^{2b}0^{pab}1^p = 0^{p+b}1^p. Število 0s je p + b, ki je večji od p, medtem ko število 1s ostane p. Zato, xy^2z \notin U ker števili 0 in 1 nista enaki. To protislovje kaže, da predpostavka, da U je pravilno je napačno. torej U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} ni običajni jezik.

Jeziki brez konteksta in potisni avtomati

Jezik U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} vendar je kontekstno-brezplačni jezik (CFL). Jezike brez konteksta prepoznajo potisni avtomati (PDA), ki so močnejši od končnih avtomatov, ker lahko uporabijo sklad za shranjevanje neomejene količine informacij. Ta dodatni pomnilnik omogoča dlančnikom, da spremljajo število 0 in 1 v jeziku U.

PDA za U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} deluje na naslednji način:
1. Zažene se v začetnem stanju in bere 0 s iz vhoda, tako da vsako 0 potisne na sklad.
2. Ko prebere prvo 1, preide v novo stanje in začne izločati 0 iz sklada za vsako 1, prebrano iz vnosa.
3. Če je sklad prazen, ko je vnos izčrpan, PDA sprejme vnos, kar kaže, da se število 0 ujema s številom 1.

Ta mehanizem uporabe sklada za ujemanje števila 0 in 1 dokazuje zmožnost dlančnikov, da prepoznajo jezike, ki niso navadni, vendar so brez konteksta.

Primeri in nadaljnje posledice

Razmislite o primeru niza s = 000111 iz jezika U. PDA bi ta niz obdelal tako, da bi vsako 0 potisnil na sklad, ko bi jih prebral. Po branju treh 0 bi sklad vseboval tri simbole, od katerih bi vsak predstavljal 0. Ko dlančnik bere naslednje 1, izloči en simbol iz sklada za vsako 1. Ko je vnos v celoti prebran, je sklad prazen, kar pomeni, da da je vnos sprejet.

Nasprotno pa končni avtomat ne bi mogel slediti številu 0 in 1, saj nima mehanizma sklada. Brez zmožnosti shranjevanja in pridobivanja neomejenega števila simbolov končni avtomat ne more zagotoviti, da je število 0 enako številu 1, kar vodi v njegovo nezmožnost prepoznavanja jezika U.

Razlikovanje med običajnimi in kontekstno prostimi jeziki je pomembno v teoretični računalniški znanosti in ima praktične posledice na področjih, kot sta načrtovanje in razčlenjevanje programskega jezika. Kontekstno proste slovnice, ki ustvarjajo kontekstno proste jezike, se v veliki meri uporabljajo pri definiciji sintakse programskih jezikov. Sposobnost učinkovitega prepoznavanja kontekstno prostih jezikov z uporabo dlančnikov podpira razvoj razčlenjevalcev, ki so temeljni za prevajalnike in tolmače.

Nepravilnost pri U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} poudarja omejitve končnih avtomatov in poudarja potrebo po zmogljivejših računalniških modelih, kot so potisni avtomati za prepoznavanje širšega razreda jezikov. To razlikovanje ni le teoretično, ampak ima globoke posledice v praktični zasnovi in ​​izvajanju programskih jezikov ter orodij, ki jih obdelujejo.

Druga nedavna vprašanja in odgovori v zvezi Osnove teorije računske kompleksnosti EITC/IS/CCTF:

Oglejte si več vprašanj in odgovorov v Osnovah teorije računalniške kompleksnosti EITC/IS/CCTF

Več vprašanj in odgovorov:

Označeni pod: , , , , ,