Ali je lahko problem v kompleksnem razredu NP, če obstaja nedeterministični turingov stroj, ki ga bo rešil v polinomskem času
Vprašanje "Ali je lahko problem v kompleksnem razredu NP, če obstaja nedeterministični Turingov stroj, ki ga bo rešil v polinomskem času?" se dotika temeljnih pojmov v teoriji računalniške kompleksnosti. Da bi celovito obravnavali to vprašanje, moramo upoštevati definicije in značilnosti razreda kompleksnosti NP in vlogo nedeterminističnih Turingovih strojev (NDTM).
Opredelitev NP
Razred NP (nedeterministični polinomski čas) sestavljajo odločitveni problemi, za katere je dano rešitev mogoče preveriti kot pravilno ali nepravilno v polinomskem času z determinističnim Turingovim strojem (DTM). Formalno je problem odločanja v NP, če obstaja algoritem za preverjanje polinomskega časa, ki lahko preveri pravilnost danega potrdila (ali priče) za primerek problema.
Nedeterministični Turingovi stroji
Nedeterministični Turingov stroj je teoretični model računanja, ki razširja zmožnosti determinističnega Turingovega stroja. Za razliko od DTM, ki sledi eni sami računski poti, ki jo definira njegova prehodna funkcija, lahko NDTM sledi več računskim potem hkrati. Na vsakem koraku lahko NDTM "izbira" med naborom možnih prehodov, pri čemer učinkovito raziskuje številne možne izračune vzporedno.
Polinomska časovna rešljivost z NDTM
Rečeno je, da je problem rešljiv z NDTM v polinomskem času, če obstaja nedeterministični algoritem, ki lahko najde rešitev problema v številnih korakih, ki so polinomski glede na velikost vnosa. To pomeni, da lahko NDTM za kateri koli primer težave razišče računsko pot, ki vodi do rešitve v polinomskem času.
Razmerje med NP in NDTM
Razred NP je mogoče enakovredno definirati v smislu NDTM. Natančneje, odločitveni problem je v NP, če in samo če obstaja NDTM, ki lahko reši problem v polinomskem času. Ta enakovrednost izhaja iz dejstva, da lahko NDTM potrdilo ugiba nedeterministično in ga nato deterministično preveri v polinomskem času.
Če želite to ponazoriti s primerom, razmislite o dobro znani NP-popolni težavi, Boolean satisfiability problem (SAT). Glede na logično formulo v konjunktivni normalni obliki (CNF) je naloga ugotoviti, ali obstaja dodelitev vrednosti resnice spremenljivkam, zaradi česar je formula resnična. NDTM lahko reši SAT v polinomskem času tako, da nedeterministično ugiba dodelitev resničnih vrednosti in nato deterministično preveri, ali dodelitev ustreza formuli. Korak preverjanja, ki vključuje ovrednotenje formule pod ugibano dodelitvijo, je mogoče izvesti v polinomskem času.
Posledice polinomske časovne rešljivosti z NDTM
Glede na zgornje definicije in enakovrednost med NP in rešljivostjo v polinomskem času z NDTM lahko sklepamo, da če obstaja NDTM, ki rešuje problem v polinomskem času, potem je problem res v NP. To je zato, ker obstoj takega NDTM pomeni, da za problem obstaja algoritem za preverjanje polinomskega časa. Faza nedeterminističnega ugibanja NDTM ustreza generiranju potrdila, faza determinističnega preverjanja pa algoritmu preverjanja v polinomskem času.
Nadaljnji premisleki in primeri
Za nadaljnjo razjasnitev tega koncepta si oglejmo dodatne primere težav v NP in njihovem odnosu z NDTM:
1. Problem Hamiltonove poti: Glede na graf se problem Hamiltonove poti sprašuje, ali obstaja pot, ki obišče vsako vozlišče točno enkrat. NDTM lahko reši ta problem v polinomskem času tako, da nedeterministično ugiba zaporedje vozlišč in nato preveri, ali zaporedje tvori veljavno Hamiltonovo pot. Korak preverjanja vključuje preverjanje sosednosti zaporednih vozlišč in zagotavljanje, da je vsako vozlišče obiskano natanko enkrat, kar je mogoče storiti v polinomskem času.
2. Problem vsote podnabora: Glede na nabor celih števil in ciljno vsoto se problem vsote podnabora vpraša, ali obstaja podmnožica celih števil, ki sešteje cilj. NDTM lahko reši ta problem v polinomskem času tako, da nedeterministično ugiba podmnožico celih števil in nato preveri, ali je vsota podmnožice enaka cilju. Korak preverjanja vključuje seštevanje elementov ugibane podmnožice, kar je mogoče storiti v polinomskem času.
3. Problem barvanja grafov: Glede na graf in številne barve se problem barvanja grafa sprašuje, ali je možno oglišča grafa pobarvati tako, da si dve sosednji točki ne delita iste barve. NDTM lahko reši to težavo v polinomskem času z nedeterminističnim dodeljevanjem barv vozliščem in nato preverjanjem, ali je barvanje veljavno. Korak preverjanja vključuje preverjanje barv sosednjih vozlišč, kar je mogoče storiti v polinomskem času.
zaključek
Glede na podane definicije in primere je jasno, da je problem res lahko v kompleksnem razredu NP, če obstaja nedeterministični Turingov stroj, ki ga bo rešil v polinomskem času. To razmerje je temelj teorije računalniške kompleksnosti in poudarja enakovrednost med polinomsko časovno rešljivostjo z NDTM in članstvom v razredu NP.
Druga nedavna vprašanja in odgovori v zvezi kompleksnost:
- Ali razred PSPACE ni enak razredu EXPSPACE?
- Ali je razred kompleksnosti P podmnožica razreda PSPACE?
- Ali lahko dokažemo, da sta razreda Np in P enaka, tako da najdemo učinkovito polinomsko rešitev za kateri koli popolni problem NP na determinističnem TM?
- Ali je lahko razred NP enak razredu EXPTIME?
- Ali obstajajo težave v PSPACE, za katere ni znanega algoritma NP?
- Ali je lahko problem SAT popoln problem NP?
- NP je razred jezikov, ki imajo polinomske časovne verifikatorje
- Ali sta P in NP dejansko enaka zahtevnostna razreda?
- Ali je vsak kontekstno prost jezik v kompleksnem razredu P?
- Ali obstaja protislovje med definicijo NP kot razreda odločitvenih problemov s polinomskimi časovnimi preveritelji in dejstvom, da imajo problemi v razredu P tudi polinomske časovne preveritelje?
Oglejte si več vprašanj in odgovorov v Complexity