Ali so amplitude kvantnih stanj vedno realna števila?

/ / Objavljeno v Kvantne informacije, Osnove kvantnih informacij EITC/QI/QIF, Prvi koraki, Pregled

Na področju kvantnih informacij je koncept kvantnih stanj in z njimi povezanih amplitud temeljni. Za obravnavo vprašanja, ali mora biti amplituda kvantnega stanja realno število, je nujno treba upoštevati matematični formalizem kvantne mehanike in načela, ki urejajo kvantna stanja.

Kvantna mehanika predstavlja stanje kvantnega sistema z uporabo matematičnega objekta, znanega kot valovna funkcija ali vektor stanja, običajno označenega z ( psi ) (psi) ali ( ket{psi} ) v Diracovem zapisu. Ta vektor stanja se nahaja v kompleksnem vektorskem prostoru, imenovanem Hilbertov prostor. Elementi tega prostora, vektorji stanja, so na splošno funkcije s kompleksnimi vrednostmi.

Amplituda kvantnega stanja se nanaša na koeficiente, ki se pojavijo pri razširitvi vektorja stanja glede na izbrano osnovo. Za kvantni sistem, ki ga opisuje vektor stanja ( ket{psi} ), če to stanje izrazimo z bazo ( { ket{phi_i} } ), imamo:

[ ket{psi} = vsota_i c_i ket{phi_i} ]

Tukaj so ( c_i ) kompleksne amplitude, povezane z osnovnimi stanji ( ket{phi_i} ). Te amplitude ( c_i ) so na splošno kompleksna števila. To je neposredna posledica zahteve, da je notranji prostor izdelka popoln in da se prilagodi načelom kvantne superpozicije in interference.

Kompleksna narava amplitud je pomembna iz več razlogov:

1. Načelo superpozicije: Kvantna mehanika omogoča superpozicijo stanj. Če sta (ket{psi_1}) in (ket{psi_2}) dve veljavni kvantni stanji, potem je katera koli linearna kombinacija (alfa ket{psi_1} + beta ket{psi_2}), kjer sta (alfa) in (beta) kompleksni števili, je tudi veljavno kvantno stanje. Kompleksna koeficienta ( alfa ) in ( beta ) predstavljata amplitudi zadevnih stanj v superpoziciji.

2. Razlaga verjetnosti: Verjetnost merjenja določenega izida v kvantnem sistemu je določena z modulom na kvadrat amplitude. Če je (c_i) amplituda stanja (ket{phi_i}), je verjetnost (P_i) merjenja stanja (ket{phi_i}) podana z:

[ P_i = |c_i|^2 = c_i^* c_i ]

kjer je ( c_i^* ) kompleksni konjugat ( c_i ). Ta verjetnost mora biti realno število med 0 in 1, vendar je lahko sama amplituda ( c_i ) kompleksna.

3. Učinki motenj: Kompleksna narava amplitud je bistvena za opis interferenčnih pojavov. Ko pride do motenj dveh ali več kvantnih poti, je nastala amplituda vsota posameznih amplitud, fazna razlika med temi kompleksnimi amplitudami pa povzroči konstruktivno ali destruktivno interferenco. To je temeljni vidik pojavov, kot je eksperiment z dvojno režo.

4. Enotna evolucija: Časovni razvoj kvantnega stanja ureja Schrödingerjeva enačba, ki vključuje Hamiltonov operator. Rešitve te enačbe so na splošno kompleksne funkcije. Unitarni operaterji, ki opisujejo razvoj, ohranijo normo vektorja stanja, vendar lahko spremenijo njegovo fazo, s čimer zahtevajo, da so amplitude kompleksne.

Za ponazoritev teh točk si oglejte preprost primer kubita, osnovne enote kvantnih informacij. Kubit je lahko v superpoziciji osnovnih stanj ( ket{0} ) in ( ket{1} ):

[ ket{psi} = alfa ket{0} + beta ket{1} ]

Tu sta ( alfa ) in ( beta ) kompleksni števili, tako da je ( |alfa|^2 + |beta|^2 = 1). Ta normalizacijski pogoj zagotavlja, da je skupna verjetnost, da najdemo kubit v katerem koli stanju ( ket{0} ) ali ( ket{1} ), enaka 1. Kompleksna narava ( alfa ) in ( beta ) omogoča bogato strukturo kvantnih stanj in je bistvenega pomena za naloge kvantnega računanja in obdelave informacij.

Na primer, upoštevajte Hadamardova vrata, temeljna kvantna vrata, ki se uporabljajo za ustvarjanje superpozicijskih stanj. Ko se Hadamardova vrata uporabijo za osnovno stanje ( ket{0} ), ustvarijo stanje:

[ ket{+} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} + ket{1}) ]

Tukaj je amplituda za (ket{0}) in (ket{1}) (frac{1}{sqrt{2}}), kar je realno število. Vendar, če uporabimo Hadamardova vrata za stanje ( ket{1} ), dobimo:

[ ket{-} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} – ket{1}) ]

V tem primeru je amplituda za ( ket{1} ) ( -frac{1}{sqrt{2}} ), kar je še vedno realno. Kljub temu upoštevajte fazna vrata, ki uvajajo kompleksen fazni faktor. Fazna vrata (R(theta)) delujejo na stanje kubita (ket{psi} = alfa ket{0} + beta ket{1}) na naslednji način:

[ R(theta) ket{psi} = alfa ket{0} + beta e^{itheta} ket{1} ]

Tu je ( e^{itheta} ) kompleksno število z enotskim modulom. Ta operacija jasno kaže, da lahko amplituda stanja ( ket{1} ) pridobi kompleksen fazni faktor, kar poudarja nujnost kompleksnih amplitud v kvantni mehaniki.

Poleg tega razmislite o pojavu kvantne prepletenosti, kjer je stanje enega delca neločljivo povezano s stanjem drugega, ne glede na razdaljo med njima. Zapleteno stanje dveh kubitov je lahko predstavljeno kot:

[ ket{psi} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{00} + e^{iphi} ket{11}) ]

Tu je (e^{iphi}) kompleksen fazni faktor, ki dokazuje, da je relativna faza med komponentami prepletenega stanja pomembna za opis lastnosti prepletenosti.

V kvantnem računalništvu je uporaba kompleksnih amplitud nepogrešljiva za implementacijo kvantnih algoritmov. Na primer, Shorov algoritem za faktorizacijo velikih celih števil in Groverjev algoritem za nestrukturirano iskanje se oba zanašata na interferenco kompleksnih amplitud, da dosežeta svojo eksponentno pospešitev v primerjavi s klasičnimi algoritmi.

Potreba po kompleksnih amplitudah je očitna tudi v kontekstu kvantne korekcije napak. Kvantne kode za popravljanje napak, kot sta koda Shor ali koda Steane, kodirajo logične kubite v zapletena stanja več fizičnih kubitov. Kompleksne amplitude v teh kodah zagotavljajo, da je mogoče napake odkriti in popraviti, ne da bi pri tem strnili kvantne informacije.

Ni nujno, da je amplituda kvantnega stanja realno število. Kompleksna narava kvantnih amplitud je temeljni vidik kvantne mehanike, ki omogoča opis superpozicije, interference in prepletanja. Uporaba kompleksnih števil je bistvena za matematično doslednost kvantne teorije in praktično izvajanje nalog kvantne obdelave informacij.

Druga nedavna vprašanja in odgovori v zvezi Osnove kvantnih informacij EITC/QI/QIF:

Oglejte si več vprašanj in odgovorov v EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals

Več vprašanj in odgovorov:

Označeni pod: , , , , ,